Teselado de Penrose en la UdeC
TeseladoUdeC

Gracias al proyecto Ciencia y Arte de la Dirección de Extensión de la Universidad de Concepción, en junio de 2018 se montó un mosaico mural en la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. El diseño corresponde a un teselado de Penrose. El físico Roger Penrose creó esta estructura en 1973 como respuesta al problema de encontrar un juego de baldosas aperiódico simple, esto es, un conjunto pequeño de teselas que solamente puede embaldosar el plano de manera no periódica. Como veremos, este objeto matemático tiene increíbles conexiones con la ciencia y el arte.

Se trata de un mosaico hecho únicamente con solo dos tipos de rombos dispuestos en el plano sin traslaparse ni dejar espacios vacíos. El diseño posee las propiedades de aperiodicidad, autosimilaridad, cuasiperiodicidad, además de una marcada presencia de diversas manifestaciones de la razón áurea.

Las piezas originales creadas por Roger Penrose están decoradas con líneas de colores cuya continuidad debe ser respetada entre piezas adyacentes. Cualquier recubrimiento del plano que respete esta restricción conducirá a un diseño no periódico, razón por la cual se dice que este juego de baldosas es aperiódico.

La condición dada por las decoraciones resulta equivalente a incorporar calados en los bordes de los rombos, los que deben encajar de manera exacta.

P3
P3
P3-O
P3-A

Pero si el embaldosado no es periódico, ¿cómo podemos estar seguros de que realmente puede cubrir el plano infinito? Para disipar esta inquietud, es necesario mostrar una técnica de construcción que se pueda repetir infinitas veces hasta cubrir el plano completo sin errores. La técnica usada para este teselado se llama substitución y consiste en descomponer cada rombo en otros rombos o en mitades de ellos, tal como se muestra en la figura. Las condiciones de adyacencia de estas nuevas formas son las mismas que en las originales, así que el proceso puede repetirse con los rombos más pequeños, una y otra vez.

P3 substitución
La solución que aquí se presenta es un extracto del teselado original, el cual es infinito. Se obtiene a partir del rombo más grueso mediante el proceso antes descrito, pero aplicando una pequeña variación: en cada paso se borran los triángulos agudos que quedan incompletos en el borde de la figura, mientras que los triángulos obtusos se completan en un rombo. Esta regla se repite sobre los nuevos rombos, siete veces sucesivas, hasta llegar al patrón completo.
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El patrón resultante no puede ser periódico, ya que la regla de substitución no lo es. Sin embargo es casi periódico. Esto significa que, si escogemos una parte finita del teselado, la veremos repetida con frecuencia; pero su frecuencia de aparición va a ser más baja cuanto más grande sea el trozo que consideremos. Esta propiedad proviene justamente del proceso substitutivo y del hecho que la regla de substitución hace que los rombos roten en un ángulo que es un divisor entero de 360.
Otra propiedad que encontramos en nuestro teselado es que es un fractal. La figura completa se puede descomponer en versiones más pequeñas de la misma. En efecto, la imagen obtenida en una iteración del proceso aparece 3 veces escondida dentro de la siguiente iteración. Como cada iteración es similar a la siguiente, podemos decir que el patrón completo contiene múltiples apariciones de una versión reducida de sí mismo, escondidas a distintas escalas, es decir, esauto similar.
Fractal
En 1982 Dan Shechtman encontró un compuesto químico que presentaba un diagrama de difracción que parecía periódico, pero que tenía simetría rotacional de orden 10; esto significa que, si el diagrama se rota en 360/10 grados, queda igual. Dicho objeto es totalmente imposible en geometría. ¿Cómo podía estarlo observando, entonces? ¡La respuesta es que el diagrama no era periódico si no cuasiperiódico, tal como nuestro teselado! De esta interacción entre matemática y química nació el concepto de cuasicristal que llevo a Dan Shechtman a ganar el Premio Nobel en 2011. Desde entonces, se han descubierto muchos cuasicristales diferentes y se investigan sus cualidades y posibles aplicaciones industriales.
Pero, además de ser aperiódico, cuasiperiódico y autosimilar, el teselado de Penrose se basa en rombos que encontramos dentro de la estrella de cinco puntas y del pentágono. ¿Por qué tomó Penrose estas figuras para hacer su famoso teselado? No lo sabemos; pero él no fue el único que se obsesionó con los pentágonos. Kepler también había buscado en estas figuras un teselado que recubriera el plano, pero no tuvo éxito. Lo que sí sabemos es que la proporción entre las diagonales y los lados del pentágono es la razón áurea, número asociado a la belleza y frecuentemente presente en la estructura de los vegetales.
Estrella de 5 puntas con teselas
Asimismo, el pentágono es recurrente en el arte islámico, pues representa al "ser humano". Curiosamente, hace unos años se descubrió que varias obras arquitectónicas islámicas contienen patrones muy parecidos al teselado de Penrose y hasta incluyen implícitamente la noción de substitución.
Darb-i Imam shrine Isfahan Irán

Fabricación

El diseño fue hecho usando la aplicación de código abierto Processing, en la cual se implementó la regla de substitución antes descrita. El programa computacional se utilizó para buscar el diseño exacto de la obra, la forma del borde, los colores, etc. Esta fue la etapa más extensa del trabajo, pues las posibilidades eran múltiples, y cada opción explorada demandó horas de programación.

Para realizar el mosaico, se usaron cerámicas esmaltadas artesanalmente en Chile. Su forma original es cuadrada, por lo que fue necesario cortarlas. Para esto, se utilizó una guillotina de diamante junto con una serie de moldes de madera diseñados por nosotros, que fueron necesarios para fijar la cerámica en el ángulo preciso que requería cortar. De cada cerámica se obtuvieron al rededor de 6 rombos gruesos o 9 rombos delgados (teselas). En 10 jornadas de trabajo, logramos obtener la cantidad deseada de 1699 teselas.

Luego de esto, imprimimos el patrón por partes y lo usamos como mapa para disponer sobre él las teselas, creando los parches que se instalarían posteriormente en el muro. De esta manera, obtuvimos un rompecabezas de 83 piezas que conformaban el teselado completo.

El montaje final se logró a los largo de otras 10 intensas jornadas de trabajo. La mayor dificultad en esta etapa fue determinar la posición exacta de cada parche en el muro, puesto que pequeños errores acumulados podían hacer que los últimos parches simplemente no cupieran entre los demás. Para ayudarnos, imprimimos una imagen a escala real del patrón completo y la calcamos en el muro. Como la separación entre las baldosas no es homogénea, tampoco podíamos usar separadores de baldosas estándar. Se hizo necesario, entonces, aplicar un pegamento de secado rápido que evitara el deslizamiento de las teselas sobre el muro una vez colocadas.

Herramientas
Guillotina
Teselas
Teselas
Parches
Postura
Anahí
Agradecemos a los amigos que nos apoyaron durante el montaje, Alvaro Oyarzún, quien nos ayudó aportando su talento y meticulosidad, Guillermo Rubilar, que filmó durante todo un día; Ediciones Del Archivo por haber grabado generosamente la charla de inauguración; Cerámicas Myriam por seguir con el bello trabajo de esmaltado artesanal; a todos los programadores de software libre de Processing, LaTeX y Linux y a quienes financiaron el trabajo (Dirección de Extensión, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Astronomía, Departamento de Estadística, Departamento de Física, Departamento de Geofísica, Departamento de Ingeniería Matemática y Departamento de Matemática). Finalmente, agradecemos también a la Sociedad de Matemática de Chile, que estuvo pendiente de este proyecto desde el inicio de su gestación, nos apoyó moralmente y financió el juego de rompecabezas que hoy acompaña al Festival de Matemática y ayuda a promover esta obra por todo Chile.
Obra Teselado de Penrose
Dimensiones 2,7 x 2,8 m
Localización Muro escalera externa Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Concepción, Chile
Número de teselas 1699
Diseño Noviembre 2016 - Mayo 2017
Ejecución Junio 2017 - Junio 2018
Autores Anahí Gajardo Schulz, Juan Oliva Molina